Aflaţi coordonatele centrului de greutate a ariilor următoare:
Pentru a face acest lucru, trebuie să parcurgem 4 paşi:
PASUL 1: Studiul figurii compuse şi înpărţirea ei în figuri simple cât mai puţine posibil
PASUL 2: Numerotarea figurilor simple
PASUL 3: Alegerea unui sistem de referinţă iniţial
PASUL 4: Scrierea centrelor de greutate în raport cu zOy ales şi ariile figurilor simple.
Pentru acesta desigur tebuie să ştim unde sunt centrele de greutate ale figurilor simple (cerc, triunghi, pătrat, dreptunghi) şi ariile acestora.
Notăm cu A aria figurei şi centrul de greutate G(z,y)
I. PĂTRAT
Notăm:
-l latura pătratului
-a distanţa pătratului de Oy
-b distanţa pătratului de Oz
* de multe ori a si b vor fi 0 (dacă O este un vârf al pătratului)
A=l2
z=a+l/2
y=b+l/2
II. DREPTUNGHI
Notăm:
-l latura dreptunghiului pe Oz
-h latura dreptunghiului pe Oy
-a distanţa dreptunghului de Oy
-b distanţa dreptunghiului de Oz
* de multe ori a si b vor fi 0 (dacă O este un vârf al dreptunghiului)
A=l2
z=a+l/2
y=b+h/2
III. CERC
Notăm:
-d diametrul cercului
-a distanţa centrului cercului de Oy
-b distanţa centrului cercului de Oz
* de multe ori a si b vor fi 0 (dacă O este un vârf al pătratului)
A=π*R2=π*(d/2)2=π*d2/4=0,79*d2
z=a
y=b
IV.+V.+VI. TRIUNGHI
în triunghi dreptunghic:
am notat cu c, d catetele şi
IV. cu a,b distanţele de Oy şi Oz a vârfului dreptunghic
A=c*d/2
z=a+c/3
y=b+d/3
V. cu a2 şi b2 distanţele vârfului dreptunghic de Oy şi Oz
A=c*d/2
z=a-c*2/3
y=b-d*2/3
* în cazul unui dreptunghi oarecare
A=înălţime*latură/2
iar centrul de greutate este punctul de intersecţie a medianelor. Pe fiecare mediană acest punct va fi la 2/3 de la vârf şi la 1/3 de latură.
VI. în cazul unui dreptunghi cu laturi egale:
Am notat:
-h înălţimea (care în acest caz coincide cu medianul)
-c latura triunghiului
-a distanţa dintre Oy şi vârful cel mai apropriat de O (care poate fi şi 0)
-b distanţa dintre Oy şi vârful ce mai apropriat de O (care poate fi şi 0)
A=h*c/2
z=a+c/2 (pentru că centrul de greutate este pe mediana care este şi înălţime)
y=b+h/3
Şi acum înapoi la exerciţiul nostru:
FIGURA 1.
z1=2a
y1=2a
A1=4a*4a=16a2
z2=4a-2a/3=3,34a
y2=2a+4a/3=3,33a
A2=2a*2a/2=2a2
z=(z1A1-z2A2)/(A1-A2)=1,81a
y=(y1A1-y2A2)/(A1-A2)=1,81a
FIGURA 2.
z1=a
y1=2a
A1=2a*4a=8a2
z2=a
y2=2a
A2=πa2/2=0,79a2
z=(z1A1-z2A2)/(A1-A2)=a
y=(y1A1-y2A2)/(A1-A2)=2a
FIGURA 3.
z1=2a
y1=2a
A1=4a*4a=16a2
z2=3a
y2=a
A2=πa2/2=0,79a2
z=(z1A1-z2A2)/(A1-A2)=1,95a
y=(y1A1-y2A2)/(A1-A2)=2,05a
FIGURA 4. z1=4a y1=4a A1=8a*8a=64a2 z2=4a y2=4a+a/3=4,33a A2=3a*2a/2=3a2 z=(z1A1-z2A2)/(A1-A2)=4a y=(y1A1-y2A2)/(A1-A2)=3,98a
