Ingineria şi Protecţia Mediului în Industrie
- ediţia 2010-2014 - 

Se dă grinda rezemată şi înărcată ca în figură.

Se cere:

1.) Calculul reacţiunilor din reazăme

2.) Diagramele N,T,M

3.) Dimensionarea grinzii (profil I)

4.) Verificarea tensiunilor tangenţiale maxime

5.) Calulul săgeţii şi rotirii la mijlocul deschiderii grinzii şi la capătul consolei prin metoda identificării constantelor arbitrale.

 

F₁ = 1+n [kN]

l = 2 + 0.1*n [m]

c = 0,2 * l [m]

a₁ = 0,4 * l [m]

a₂ = 0,8 * l [m]

F₂ = 2 * F₁ [kN]

q₁ = 2 +  0,1 * n [kN/m]

q₂ = 1,5 * q₁ [kN/m]

M₀ = 5 [kNm]

 

 

r = 2+ 1 = 3  (două forţe necunoscute din articulaţia 1 şi un efort necunoscut din reazemul simplu 2)

s = 3

n= r - s = 3 - 3 = 0 → grinda este static determinată

Deci putem să scriem condiţiile de echilibru date de statică (adică atât pe direcţia Ox, cât pe Oy suma forţelor este 0, iar în reazăme suma momentelor este 0)

∑F_x=0 → H₁=0

∑F_y=0 → V₁ -F₁ - q₁* l/2 + V₂ -q₂*c - F₂ = 0  --- ecuaţia aceasta o păstrăm pentru verificare

∑ M₂=0 →V₁*l - F₁*l/2 + M₀ - q₁*(l/2)*(l/4) + q₂c*c/2 + F₂*c = 0 →

V₁ = 1/l * (F₁*l/2 - M₀ + q₁* l²/8 - q₂*c²/2 - F₂*c) =...kN

∑M₁=0 → V₂*l - M₀ - F₁*l/2 - q₁*(l/2)*(3*l/4) - q₂*c*(l+c/2) - F₂* (l+c)  = 0 →

V₂ = 1/l * [M_{0 +} F₁*l/2 + q₁*3l²/8 + q₂*c*(l+c/2) + F₂* (l+c)] = ...kN

 

Verificare: V₁ + V₂= F₁ + q₁* l/2 + q₂*c + F₂ | *l

F₁*l/2 - M₀ + q₁* l²/8 - q₂*c²/2 - F₂*c + M_{0 +} F₁*l/2 + q₁*3l²/8 + q₂*c*(l+c/2) + F₂* (l+c) = l * (F₁ + q₁* l/2 + q₂*c + F₂)

F₁*l + q₁* l²/2 + q₂*c*l + F₂*l  = F₁*l + q₁* l²/2 + q₂*c*l + F₂*l  ---Adevărat, deci se verifică

 

2.) Ca să putem trasa diagramele trebuie să aflăm cum variază valorile eforturilor pe fiecare porţiune.

• 1-4  x € [0, l/2]

N_x(x) = - H₁ =0

T_y(x) = V₁

M_z(x) = V₁*x

x = 0 → M_z(0) = M_z1 =0

x =l/2 → M_z(l/2) = M^I_z4 = V₁ *l/2

 

• 4 - 2 x€ [l/2, l]

N_x(x) = - H₁ =0
T_y(x) = V₁ - F₁ -q₁*(x-l/2)

x = l/2 → T_y(l/2) = T^I_y4 = V₁ - F₁
x =l → T_y(l) = T^I_y2 = V₁ - F₁ -q₁*l/2

M_z(x) = V₁*x + M₀ - F₁* (x-l/2) - q₁*(x-l/2)²/2

x = l/2 → M_z(l/2) = M^II_z4 = V₁*l/2 + M₀
x =l → M_z(l) = M^I_z2 = V₁*l/2 + M₀ - F₁* l/2 - q₁*l²/8

*dacă o valoare vă dă cu -, iar cealaltă cu +, atunci trebuie să calculaţi x₀, punctul în care parabola întâlneşte linia de 0: M_z(x₀) = 0 → x₀

 

• 2 - 3 x€[l, l+c]

N_x(x) = - H₁ =0
T_y(x) = V₁ - F₁ + V₂ - q₁*l/2 - q₂*(x-l)

x = l → T_y(l) = T^II_y2 = V₁ - F₁ + V₂ - q₁*l/2
x =l+c → T_y(l+c) = T_y3 = V₁ - F₁ +V₂ - q₁*l/2 - q₂*c

M_z(x) = V₁*x + M₀ - F₁* (x-l/2) - q₁*l/2*(x-3l/4) + V₂*(x-l) - q₂*(x-l)²/2

x = l → M_z(l) = M^II_z2 = V₁*l + M₀ - F₁* l/2 - q₁*l²/8
x =l+c → M_z(l+c) = M_z3 = V₁*(l+c) + M₀ - F₁* (c+l/2) - q₁*l/2*(c+l/4) + V₂*c - q₂*c²/2

 

Iar după aceasta puteţi trasa diagramele....

 

3.) Dimensionarea

W_{z nec} = M_{z max} / σ_a

unde M_{z max} este valoarea maximă a momentului, pe care o luaţi din diagrama voastră. iar σ_a pentru OL37 este între 90şi 150, deci 100 N/mm²

După ce aţi calculat W_{z nec} căutaţi în STAS un profil i cu W_z mai mare decât valoarea calculată

de exemplu i28 cu W_z = 542 cm³ ; I_z = 7590 cm⁴ ; b=d=10,1 mm; S_z=316 cm³

 

4.) Verificarea

τ_max=T_max*S_z/b*I_z ≤ τ_a

unde τ_a=0,8*σ_a=80 N/mm²

T_max valoarea maximă a forţei tăietoare din diagramă

 

ATENŢIE!!! Transformaţi toate mărimile în N şi mm

1 cm⁴ = 1* 10⁴ mm⁴

1 cm³ = 1* 10³ mm³

 

5.) rotirea: dy/dx

săgeata: y

Pornim de la formula: E*I_z*d²y/dx²= - M_z(x)  şi integrăm această ecuaţie până obţinem ceea ce căutăm.

Facem asta pe fiecare porţiune, deoarece M_z(x) variază altfel pe fiecare porţiune

• 1-4  x € [0, l/2]

E*I_z*d²y/dx²= -V₁x

E*I_z*dy/dx = -V₁*x²/2 + C₁

E*I_z*y = -V₁* x³/6 +C₁x + D₁

• 4 - 2 x€ [l/2, l]

E*I_z*d²y/dx²= -V₁x - M₀(x-l/2)⁰ ₊ F₁* (x-l/2) + q₁*(x-l/2)²/2

E*I_z*dy/dx = -V₁*x²/2 - M₀(x-l/2) ₊ F₁* (x-l/2)²/2 + q₁*(x-l/2)³/6 + C₂

E*I_z*y = -V₁* x³/6 - M₀(x-l/2)²/2 ₊ F₁* (x-l/2)³/6 + q₁*(x-l/2)⁴/24 + C₂x + D₂

• 2 - 3 x€[l, l+c]

E*I_z*d²y/dx²= -V₁x - M₀(x-l/2)⁰ ₊ F₁* (x-l/2) + q₁*(x-l/2)²/2 - q₁* (x-l)²/2 + V₂(x-l) - q₂*(x-l)²/2

E*I_z*dy/dx = -V₁*x²/2 - M₀(x-l/2) ₊ F₁* (x-l/2)²/2 + q₁*(x-l/2)³/6 - q₁* (x-l)³/6 + V₂(x-l)²/2 - q₂*(x-l)³/6 + C₃

E*I_z*y = -V₁* x³/6 - M₀(x-l/2)²/2 ₊ F₁* (x-l/2)³/6 + q₁*(x-l/2)⁴/24 - q₁* (x-l)⁴/24 + V₂(x-l)³/6 - q₂*(x-l)⁴/24 + C₃x + D₃ (*)

 

Condiţiile din care putem afla constantele D şi C sunt:

la capetele grinzii săgeata este 0, şi în fiecare punct avem o singură valoare a săgeţii şi rotirii, de unde avem

D₁=D₂=D₃=0

C₁=C₂=C₃ -o aflăm din condiţia că la capătul grinzii, adică în punctul 3 săgeata este 0, adică înlocuim l+c în ecuaţia (*)

 

 

Nu ne mai rămâne decât să calculăm cerinţele problemei, adică rotirea şi săgeata la mijlocul deschiderii (înlocuim x cu l/2) şi la capătul consolei (x=l)